EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN
DE
BODE-ROUTH

UN BREVE COMENTARIO

Algunos de estos ejemplos han sido sacados de los libros Ingeniería de Control Moderna (Ed. Prentice Hall, 2ª edición) y Sistemas de Control en Tiempo Discreto (Ed. Prentice Hall, 2ª edición) de Katsuhiko Ogata, donde además de otros muchos ejemplos vienen desarrollados en profundidad todos los temas de los que se ha hablado a lo largo de este manual.

-- O -- O -- O --

ÍNDICE

-- O -- O -- O --

Ejemplo 1 (Bode): Dibujar el diagrama de Bode de la función de transferencia

SOLUCIÓN:

Puedes poner en la pila la función de transferencia en cualquiera de estas dos formas:

o entrar directamente en el comando Bode e introducir el numerador en el campo NUM y el denominador en el campo DEN. Una vez dentro de este comando nos encontramos con:

Pulsa BORRA para borrar cualquier dibujo que hubiera en el entorno PICTURE y a continuación sitúate en el campo T y elige entre dibujar primero el diagrama de la fase y luego el del módulo o viceversa. Cualquiera de los dos gráficos resultantes se obtienen después de pulsar GRAF, y son los siguientes:

Recuerda que, como ya se especifica en el manual de Bode-Routh, el eje horizontal está en escala logarítmica y por lo tanto el -1 y el 2 que aparecen a los lados de los gráficos indican que el rango de frecuencias del eje horizontal va desde 10^-1 hasta 10²

El valor inferior del eje vertical realmente indica la coordenada vertical a la parte inferior de la pantalla (por debajo del menú), ya que el menú ocupa cierto espacio en el dibujo.
Puedes utilizar TRACE para moverte por la gráfica del módulo y/o (X,Y) para ver las coordenadas en las que se encuentra el cursor.
Realmente creo que no tiene mucha complicación este comando, así que no doy más ejemplos de diagramas de Bode.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 2 (Nyquist): Dibujar el diagrama de Nyquist de la función de transferencia del ejemplo anterior.

SOLUCIÓN:

Procediendo de forma análoga a como se hizo antes, nos encontramos dentro del comando Nyquist con algo de la forma:

El gráfico resultante en este caso se muestra a continuación:

-- O -- O -- O --

Ejemplo 3 (Nyquist + Resp): Estudiar mediante el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema cuya función de transferencia de lazo abierto viene dada por:

SOLUCIÓN:

Observa que la función de transferencia de lazo abierto tiene un polo inestable en 1 luego el sistema en lazo abierto es inestable.
Observa también que la ganancka K dicen ser > 1. Eligiendo por ejemplo un valor K = 3, una vez dentro del comando Nyquist tenemos algo así:

Desactivamos el escalado automático para poder ver el número de vueltas que da la función entorno al punto -1+j·0 y la solución que se obtiene en este caso se muestra en la figura siguiente:

Como todavía no podemos saber el número de vueltas que damos entorno a ese punto puesto que los rangos de visualización no nos permite apreciar si la gráfica continúa el rodeo hacia la derecha o hacia la izquierda pulsamos ZOOM y después ZOUT y observamos lo siguiente:

Con los datos obtenidos podemos aplicar ya el criterio de Nyquist que establece lo siguiente:

Z = N + P

donde

• Z = número de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s
• N = número de rodeos entorno al punto -1+j0 en sentido horario
• P = número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s

En nuestro caso P = 1 ya que la función de transferencia de lazo abierto que nos daban al principio de este ejemplo tenía un polo inestable en el punto 1.
El valor de N es en este caso igual a -1 porque el diagrama de Nyquist da un rodeo entorno al punto -1+j0 en sentido ANTIhorario.
Con todo esto obtenemos Z = -1 + 1 = 0 lo que indica que ¡ el sistema en lazo cerrado es estable ! puesto que

no tiene ceros en el semiplano real positivo y por lo tanto es coherente con el criterio de Nyquist.

Esto lo podemos comprobar si representamos la respuesta del sistema al escalón después de cerrar el lazo haciendo:

y tras ejecutar el comando Resp veríamos que el sistema responde al escalón de la siguiente manera:

Este es uno de esos casos en los que un sistema inestable en lazo abierto se vuelve estable al cerrar el lazo.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 4 (Nichols): Estudiar mediante el diagrama de Nichols la estabilidad del sistema cuya función de transferencia viene dada por

SOLUCIÓN:

Dentro del comando Nichols, una vez introducida la función de transferencia, vamos a aumentar la resolución del gráfico para que los cálculos sean más exactos, disminuyendo el valor del campo RES de 0.2 a 0.1. Con todo ello partimos de

para obtener tras pulsar GRAF (borrando si fuera necesario el gráfico que hubiera anteriormente en PICTURE pulsando BORRA), el gráfico siguiente

Pueden verse en esa figura dos puntos que han sido marcados con las letras a y b y que vamos a estudiar más detenidamente porque tienen ciertas propiedades interesantes. Pero antes vamos a obtener sus coordenadas situando el cursor en esos puntos y elegiendo la opción del menú llamada (X,Y), con lo que obtendríamos algo así como lo que se muestra en las figuras siguientes:

Punto a: Nos permite obtener un valor aproximado del margen de fase que coincide con la distancia desde el punto de corte de la gráfica con el eje horizontal a -180º. Así pues, a partir de las coordenadas facilitadas por el gráfico el margen de fase vale

-130-(-180) = 50°

Punto b: Permite obtener un valor aproximado del margen de ganancia que coincide con la distancia desde este punto al eje horizontal, y que es igual a

0 - (-6.03) = 6.03 dB

Concluimos por tanto que el sistema es estable puesto que sus márgenes de fase y de ganancia son positivos.

Puedes comprobar el valor calculado por este procedimiento con los valores exactos que puedes obtener mediante el comando Datos, y que resultan ser

Margen de ganancia = 6.020599... dB
Margen de fase = 50.290385...º

-- O -- O -- O --

Ejemplo 5 (Nichols): Dibujar el diagrama de Nichols del sistema dado por la función de transferencia

SOLUCIÓN: En este caso el diagrama queda

y a primera vista puede observarse que el sistema es inestable puesto que el margen de ganancia es negativo porque es igual a 0-x donde x es el valor positivo de la distancia del salto al eje horizontal.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 6 (LugR): Dibujar el lugar de las raíces del sistema siguiente para distintos valores de la ganancia K

con

SOLUCIÓN:

Como el lugar de las raíces se traza para la función de transferencia de lazo abierto, obtenemos primero ésta sin más que multiplicar las funciones G y H haciendo uso del comando F* de Neopolys:

Una vez dentro de la plantlla de datos del comando LugR nos encontramos con lo siguientea:

donde como puede verse hemos activado el campo LIN para dibujar con líneas el gráfico.
Pulsando GRAF (después de haber borrado PICTURE mediante BORRA si hubiera sido necesario) vemos que se diguja el diagrama.

Tendrás que pulsar una tecla para que termine de dibujar.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 7 (LugR & Datos & Routh): Estudiar los valores de la ganancia K que desestabilizan el sistema del ejemplo anterior con

SOLUCIÓN:

Podemos igual que antes calcular la función de transferencia de lazo abierto como producto de las funciones de transferencia directa y de realimentación (que en este caso vale 1) haciendo

y tras entrar en el comando LugR tenemos lo siguiente:

Activamos también el campo LIN para dibujar con líneas y después de pulsar GRAF obtenemos:

El menú no aparece porque ha sido ocultado pulsando EDIT -> NXT -> MENU

Como puede verse, el lugar de las raíces de este sistema parece cortar al eje imaginario (el vertical) en varios puntos (podíamos haber activado la opción EJES del menú del comando LugR para visualizar los ejes), con lo que es posible que haya varios rangos de valores de la ganancia entre los que el sistema sea estable o inestable. Para obtener los valores críticos utilizamos el comando Datos el cual, tras haber puesto en la pila la función de transferencia y después de elegir la opción Límites de estabilidad para obtener estos, nos muestra el resultado siguiente:

Y se comprueba efectivamente que el lugar de las raíces corta al eje imaginario en los puntos que indican las figuras anteriores siendo el valor de la ganancia en esos puntos el que acompaña a cada uno de ellos.

Supongo que te habrás dado cuenta de que para calcular esos límites el comando Datos lo primero que ha hecho es llamar al comando Routh.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 8 (Resp & ->LC): Calcular la respuesta del sistema con realimentación unitaria y función de transferencia directa igual a

ante una entrada escalón unitario.

SOLUCIÓN:

Primero hemos de obtener la función de transferencia de lazo cerrado para lo cual utilizamos el comando ->LC haciendo lo siguiente:

Ahora, con esta función de transferencia de lazo cerrado ejecutamos el comando Resp y nos encontramos con

Como ya tenemos seleccionada por defecto la entrada escalón y en el campo A hay un 1 (indicando con ello que el escalón es unitario), pulsamos GRAF para obtener la gráfica de la respuesta que se muestra a continuación

De esta gráfica podemos obtener a simple vista varios datos:

1º) Como puede apreciarse, el valor final de la respuesta tiende aproximadamente a 1 (la línea punteada indica por dónde va la señal de entrada que si recuerdas era un escalón unitario).

2º) Podemos obtener los valores aproximados del el sobre-impulso y del tiempo de pico utilizando TRACE junto con (X,Y) y situando el cursor en el punto máximo como se muestra en la siguiente figura

Es decir, el sobre-impulso será más o menos igual a

( 1.18 - 1 ) · 100 = 18%

y el tiempo de pico corresponde al valor de t en ese punto y que vale 3.15 s.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 9 (Datos): Calcular los valores exactos de los parámetros de la respuesta del caso anterior.

SOLUCIÓN:

Con la función de transferencia de lazo cerrado obtenida en el caso anterior vamos al comando Datos y después de elegir la opción Respuesta al escalón y tras indicar que se trata de un sistema continuo obtendremos los datos exactos de las siguientes pantallas

-- O -- O -- O --

Ejemplo 10 (Cntr): Se desea diseñar un controlador de forma que el sistema anterior presente un nuevo sobre-impulso menor o igual que el 10% y un tiempo de establecimiento inferior a 2 segundos manteniendo las propiedades de error en estado estacionario nulo.

SOLUCIÓN:

Partiremos de la función de transferencia del sistema en lazo abierto y vamos a suponer un controlador PD (proporcional-derivativo) puesto que este tipo de controladores mejoran la parte transitoria de la respuesta sin afectar demasiado al estacionario. Así pues, no tenemos más que ejecutar el comando Cntr e introducir la función de transferencia de lazo abierto en los campos NUM y DEN.

Recuerda que si antes de entrar en el comando pones en la pila la función de transferencia, los campos NUM y DEN se cargan automáticamente con esos valores.

Tendremos entonces lo siguiente:

donde hemos seleccionado que el tipo de especificaciones que vamos a imponer vendrán dadas en términos del error, el sobre-impulso (Mp) y el tiempo de establecimiento (ts).
Dejamos activado el campo DATS para obtener los datos de la respuesta del sistema controlado y ver si se satisfacen las especificaciones impuestas, y pulsamos Cntr para introducir las especificaciones antes de pasar a calcular el controlador.

Introducimos el valor 2 en el tiempo de establecimiento deseado y tras pulsar OK obtenemos los parámetros del controlador, su forma y los datos de la respuesta del sistema controlado con ese controlador

Como puede verse en la última de estas imágenes, con este controlador se cumplen las especificaciones ya que el tiempo de establecimiento vale .4645 que es menor de 2 y el sobre-impulso vale 9.64 que es menor de 10 como era deseable.
En definitiva, el nuevo sistema más el controlador vendría dado por

Puedes pulsar la tecla GRAF para saltar directamente al comando Resp con la función de transferencia de lazo cerrado del sistema de la figura anterior y representar gráficamente su respuesta al escalón, que como puedes comprobar resulta ser:

-- O -- O -- O --

Ejemplo 11 (C2DM & Datos & Resp): Dado el sistema continuo cuya planta se modela por la función de transferencia que se muestra en la figura,

y que como puede verse posee un retardo de 2 segundos, se desea diseñar un controlador PI digital de forma que combinado con un muestreador de período 1 s y un mantenedor de orden cero los polos dominantes de lazo cerrado estén lozalizados en Zd = 0.5629 + j·0.409.

SOLUCIÓN:

Observemos primero la forma de la respuesta del sistema inicial obteniendo antes la función de transferencia de lazo cerrado para poder aplicar el comando Resp.

La respuesta del sistema se muestra en la figura siguiente:

No hemos considerado el retardo al dibujar la respuesta al escalón porque la gráfica es la misma sólo que desplazada, con lo que no empezaría en el origen sino en la coordenada x = 2 .

Como puede apreciarse, el sistema posee un error considerable en el estacionario por lo que es deseable implementar un controlador que lo disminuya. El controlador PI es bueno para este propósito porque disminuye el error en estado estacionario; pero debido a su forma (introduce polos adicionales) puede incluso desestabilizar un sistema estable.

Como hay que introducir un mantenedor de orden cero vamos a discretizar el sistema utilizando el comando C2DM y aplicando el método del mantenedor de orden cero ( Zho ) con el período de muestreo que nos indican (1 s):

Activa el flag 2 ( 2 SF ) para que se simplifique automáticamente el resultado.
Recuerda que los retardos continuos de la forma exp(-a·s) se convierten en potencias negativas de z al discretizar, es decir, el término anterior se transformaría en un factor z^(-a) que habría que multiplicar al resultado de la conversión de sistema continuo a sistema discreto.

En definitiva

y multiplicar por el factor debido al retardo de 2º orden la función de transferencia del sistema discretizado es equivalente a añadir dos ceros al denominador anterior, con lo que el resultado final es:

2: { .632120558829 }
1: { 1 -.36787944117 0 0 }

es decir, el sistema más el mantenedor de orden cero quedan ahora representados por la función de transferencia discreta:

Ejecutamos seguidamente el comando Cntr, seleccionamos el tipo de controlador PI y activamos la casilla DISC para indicar que vamos a calcular un controlador discreto, obteniendo algo así

Después de pulsar CNTR introducimos las coordenadas deseadas de los polos de lazo cerrado que nos especificaban:

y... ¡ allá vamos !, sólo tienes que pulsar OK para obtener el controlador y los parámetros de la respuesta del sistema controlado.

Puedes pulsar GRAF para ejecutar el comando Resp y dibujar la respuesta del sistema controlado:

NO OLVIDES ACTIVAR EL CAMPO 'DISC' EN EL COMANDO 'Resp' PARA INDICAR QUE EL SISTEMA ES DISCRETO.

Al final puedes ver cómo se comporta el sistema con el controlador recién calculado si pulsas GRAF para dibujar la respuesta al escalón

Observa cómo se aprecia claramente el retardo del sistema en esa gráfica, ya que en lugar de empezar en el origen empieza dos estados más adelante.

-- O -- O -- O --

Ejemplo 12 (Routh): Calcular el rango de valores de la ganancia K para el cual el sistema siguiente es estable:

SOLUCION:

Como la función de transferencia de lazo cerrado es igual a

la ecuación característica del sistema será:

Utilizamos el comando Routh pasándole en el nivel 1 el polinomio que constituye la ecuación característica, es decir, tendríamos que poner en la pila lo siguiente:

1: { 1 3 3 2 K }

y obtendríamos en el nivel 2 la matriz de Routh y en el nivel 1 la primera columna de esa matriz, que al fin y al cabo contiene los términos que hay que inspeccionar para estudiar la estabilidad. La matriz resulta ser

Para que el sistema sea estable todos los elementos de la primera columna han de ser positivos. Imponiendo esta condición obtenemos los valores críticos de K que constituyen la frontera del conjunto de valores que aseguran la estabilidad.

La solución por tanto a nuestro problema es:

0 < K < 14/9